У травні 1694 року у лекційному залі Кембридзького університету відбулася бесіда між Ісааком Ньютоном та астрономом Девідом Грегорі, яка визначила розвиток математики на століття вперед. Точні деталі їхньої розмови збереглися погано і вони, можливо, частково апокрифічні. Почавши з обговорення природи руху зірок різної величини навколо центрального сонця, вчені вийшли на фундаментальну геометричну проблему, що породила цілий напрямок математики.
Суть питання здавалася простою: скільки однакових сфер можна розташувати навколо центральної сфери так, щоби кожна торкалася її в єдиній точці, не перетинаючи інших? У тривимірному просторі легко розміщуються 12 сфер навколо центральної, але між ними залишаються проміжки. Грегорі думав, що в ці порожнечі можна додати тринадцяту сферу. Ньютон вважав це неможливим. Звідси виникла «проблема числа поцілунків» (назва за аналогією з моментом дотику більярдних куль).
Завдання виявилося настільки складним, що математикам знадобилося майже три століття, щоб довести правоту Ньютона. Лише 1952 року було математично підтверджено: у тривимірному просторі максимальне «число поцілунків» справді дорівнює 12. За минулі роки концепція знайшла практичні застосування в аналізі атомних структур, конструюванні кодів корекції помилок та інших галузях науки.
А що щодо інших вимірів? У двовимірному просторі рішення елементарне: навколо монети на столі міститься рівно шість таких же монет, утворюючи візерунок у вигляді маргаритки:
Однак зі збільшенням розмірності складність завдання зростає експонентно. Математикам вдалося знайти точні рішення для чотиривимірного середовища, а також для восьми та двадцяти чотирьох вимірів, де сфери вишиковуються у дивовижно симетричні ґратчасті структури.
У середині XX століття математики знайшли несподіваний шлях вирішення головоломки через теорію інформації. Вони звернули увагу на коди, які допомагають поновлювати повідомлення при збоях передачі даних. Принцип їх роботи був тісно пов’язаний із геометрією сфер: кожне закодоване повідомлення є центром сфери у багатовимірному просторі. Якщо під час передачі виникають перешкоди, спотворене повідомлення однаково потрапляє всередину «своєї» сфери, і його можна відновити.
У 1967 році математик Джон Ліч використав неймовірно ефективний код для побудови ґрат точок, згодом названої його ім’ям. Цей код пізніше застосовувався NASA для зв’язку з космічними апаратами Voyager. Через півстоліття математики довели, що у 24-мірному просторі грати Ліча дозволяє розмістити сфери настільки щільно, що клжна з них стикається зі 196 560 сусідніми.
Навесні 2022 року студентка MIT Анкі Лі пішла проти традицій та відмовилася шукати симетричні структури. На заняттях вона намагалася уявити, як виглядають багатовимірні конфігурації, але це дуже складно. Науковий керівник радив їй зайнятися найвищими вимірами, де простіше досягти результату. Однак Лі зацікавилася саме розмірностями від 17 до 23 – областю, де ніхто не міг просунутися вперед.
Спочатку Лі звернулася до завдання у 16 вимірах. Там рішення вже було відоме – грати Барнса-Уолла, створені у 1950-х роках на основі особливого математичного коду. Ця решітка, як і всі подібні структури у найвищих вимірах, має важливу властивість: коли ми визначаємо положення центру кожної сфери, число негативних координат завжди має бути парним. Самі сфери вишиковуються симетрично і не наїжджають одна на одну.
Лі вирішила перевірити: що буде, якщо використовувати непарну кількість негативних координат? У 16 вимірах підхід не спрацював. Але коли вона застосувала його до 17 мірного простору, між фігурами з’явилися вільні місця – туди можна було додати ще кілька сфер, не порушуючи загальну структуру.
Спочатку дівчина не повірила своїм розрахункам. Вона розповідала друзям, що, ймовірно, допустила елементарну арифметичну помилку. Навіть її науковий керівник, професор Генрі Кон, поставився до роботи скептично – у таких обчисленнях легко помилитися, особливо коли дуже хочеться знайти рішення.
Літнє стажування в Microsoft Research дозволило вченим докладно доопрацювати коди корекції, що використовуються. Вони систематично додавали сумісні сфери до «непарної«=» 17-мірної структури Лі. В результаті їм вдалося розмістити 384 додаткові сфери, збільшивши нижню межу числа дотиків з 1967 до 5730. У 17-мірному просторі сфери можуть утворювати до 10 978 дотиків – отже, у математиків ще є простір для удосконалення концепції.
Метод Лі спрацював і для просторів з 18 по 21 вимір, але далі просунутися не вдалося. Знайдені зміни дуже відрізняються від звичних симетричних структур, заснованих на решітці Ліча.
Звичайно, Лі не перша, хто насмілився відступити від канонів. Нещодавно угорський математик Ференц Сьолоші, наприклад, взявши наперед неідеальне розташування сфер у чотирьох вимірах і на його основі побудував нову п’ятивимірну конфігурацію. До цього математики знали лише два можливі рішення для п’яти вимірів, а Селлеші знайшов третє. Пізніше з’ясувалося, що такої зміни прийшла й інша група вчених, але вони не зрозуміли важливість свого відкриття.
Значущість цих досліджень виходить далеко за межі чистої геометрії. Покращені оцінки числа дотиків знаходять застосування в кристалографії, теорії кодування та проєктування систем зв’язку. За три з лишком століття завдання, що народилося з астрономічної дискусії, перетворилося на потужний інструмент для розуміння структури простору та матерії.
Більше цікавого: